El curioso número de Sheldon

El curioso número de Sheldon

Muchos sabrán que el personaje Sheldon Cooper de la famosa serie The Big Bang Theory tiene por costumbre sobrepasar sus capacidades lógicas por sobre los demás, tratándolos de inferiores, pues su CI de 187 y sus dos doctorados a temprana edad, lo permiten. Pero lo más sorprendente es que una de las tantas observaciones matemáticas de Sheldon ha sido tan importante como para iniciar una investigación matemática. Les dejo aquí el vídeo del episodio mencionado:

No es sorpresa que el asesor técnico de la serie y profesor de física de la UCLA, David Saltzberg, haya preparado una propiedad curiosa de un número y que el público en general lo haya disfrutado como nos tiene acostumbrados, que según Sheldon no es comparable ni con Chuck Norris. Pero lo que no había pensado David es que haya repercutido tanto en la comunidad matemática como para darle una definición formal y así proponer una conjetura. Como puede entenderse en el video, para Sheldon el 73 es el mejor número, porque es el 21-ésimo número primo y al revés el 37 es el 12-ésimo número primo. Además 7×3 es 21.

Fueron Byrne, Spicer y Turnquist quienes presentaron el artículo The Sheldon conjecture (La conjetura de Sheldon) en 2015, donde se define formalmente


Rajesh Ramayan y Sheldon Cooper, personajes de la afamada serie The Big Bang Theory. Imgen: CBS.com

Para un entero positivo n, sea p(n) el n-ésimo número primo. Decimos que p(n) tiene la propiedad del producto si el producto de los dígitos en base 10 de p(n) es precisamente n. Para algún entero positivo x, definimos la reversa de los dígitos de x como rev(x). Decimos que p(n) tiene la propiedad del espejo si rev(p(n))=p(rev(n)).

Para entender la definición, primero si elegimos n=7, encontramos que en la lista de números primos: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, …, que el séptimo número primo es el 17. La otra definición la reversa, así rev(1234)=4321. Luego tenemos:

Definición. El número primo p(n) es un número de Sheldon si satisface al mismo tiempo la propiedad del producto y la propiedad del espejo.

Esta definición inmediatamente produjo la siguiente conjetura en el año 2015.

Conjetura. El 73 es el único número de Sheldon.

Aunque parezca difícil de creer, efectivamente ¡el 73 es el único que satisface la propiedad de Sheldon!, por tanto el 73 es el mejor número. Y en verdad, Carl Pomerance y Chris Spicer lo probaron en febrero de 2019 en el artículo publicado Proof of the Sheldon Conjeture (disponible el artículo original en el enlace).

Carl Pomerance, mostrando la propiedad de Sheldon.

Basándose en el teorema de los números primos, que sostiene que

donde pi(x) es la función contadora de números primos, definida como la cantidad de números primos menores o iguales que x. Más formalmente

En el mismo artículo se prueba antes una propiedad importante, donde se afirma

Proposición 2. Si p(n) tiene la propiedad del producto, entonces

Otra importante propiedad que se muestra en el artículo es la siguiente

Proposición 4. Si p(n) es un primo de Sheldon y n>10^10, entonces

De aquí parten probando diez proposiciones y nueve lemas para finalmente demostrar el teorema que prueba la conjetura de Sheldon.

Daniel Dávalos

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