El problema con más intentos fallidos en la historia

El problema con más intentos fallidos en la historia

La hipótesis de Riemann es uno de los problemas más codiciados en los últimos tiempos, así como el más conocido en los problemas del milenio (que son siete) presentado en el 2000 por el Instituto Clay de Matemáticas. Fue presentado entre los veintitrés problemas de David Hilbert en 1900. Y tiene fuertes repercusiones tanto en aritmética como en el cifrado de las claves en internet.

Factorización de un número

Cuando hablamos de la suma en los números naturales (1, 2, 3, 4, …) podemos encontrar el átomo que hace posible generar todos los números y no es muy difícil darse cuenta que es el 1. Imagina cualquier número, digamos el 5, entonces podemos escribir como suma de 1s, es decir 5=1+1+1+1+1. Hacer esto con la multiplicación es más costoso, en este caso el átomo o la partícula que genera cualquier número natural no es un número sino un conjunto de números: los números primos. Un número p es primo si sus únicos son 1 y el mismo p, tomando p distinto de 1. Para encontrar la factorización de un número compuesto (número natural que no es primo) basta comprobar que es producto de números primos, por ejemplo 360=23325, pero para llegar a esto se debió haber probado si 2 divide a 360 y cuantas veces, lo mismo para 3 y para 5.

Hoy día es un misterio la forma en cómo están distribuidos los números primos. De hecho está probado que no existe alguna fórmula que genere números primos. Por este motivos se encargaron de encriptar mediante el método de RSA, que consiste en un número muy grande n=p.q, donde p y q son números primos, que es muy difícil de descifrar. Esta forma de encriptación es la que se usa en las compras en líneas con tarjetas de créditos. Si del otro lado son capaces de obtener este número (cosa que obtendrán cuando uno ingrese su clave) y si son capaces de descomponer el número entonces podrán acceder sin problemas a los datos de la tarjeta (¡y usarlo!). En realidad sí podrían factorizar, considerando que son hackers con un computador muy avanzado y expertos informáticos, pero ¿cuánto tiempo tardarán?

Consideremos el número compuesto conocido como RSA-250, y veamos en cuánto tiempo se tardará de descomponer.

RSA-250 = 214032465024074496126442307283933356300861471514475501
          779775492088141802344714013664334551909580467964109928 
          5187247091458768739626192155736304745477052080511905649
          3106687691590019759405693457452230589325976697471681738
          069364894699871578494975937497937

Entre los números de b bits, los más difíciles de factorizar en la práctica utilizando algoritmos existentes son aquellos que son productos de dos números primos de tamaño similar. Por esta razón, estos son los números enteros que se utilizan en las aplicaciones criptográficas. El semiprimo más grande hasta ahora factorizado fue RSA-250 , un número de 829 bits con 250 dígitos decimales, en febrero de 2020. El tiempo total de cálculo fue de aproximadamente 2700 años-núcleo de computación utilizando Intel Xeon Gold 6130 a 2,1 GHz. Como todos los registros de factorización recientes, esta factorización se completó con una implementación altamente optimizada del tamiz de campo numérico general ejecutado en cientos de máquinas.

Este número puede expresarse como el producto de dos números primos

RSA-250 = 6413528947707158027879019017057738908482501474294
          3447208116859632024532344630238623598752668347708
          737661925585694639798853367
        × 3337202759497815655622601060535511422794076034476
          7554666784520987023841729210037080257448673296881
          877565718986258036932062711

La importancia de la hipótesis de Riemann

Como todo problema aún sin solución es un reto que obliga a los matemáticos a crear nuevos métodos e incluso teorías que ayude a resolver el problema, y esto sería un piso más para la construcción del edificio del conocimiento humano. Pero específicamente, si la hipótesis de Riemann es verdadera, entonces ¡se tendrá la secuencia de encontrar números primos!

La función zeta ζ(s) es una función de valores complejos a valores complejos (los números complejos son números de la forma a+ib, donde a y b son números reales e i es la unidad imaginaria). Se dice que los ceros triviales de la función zeta [ζ(s)=0] son los valores s que sean números pares negativos: -2,-4,-6,-8, etc. Mientras que los ceros no triviales son aquellos que son diferentes de éstos.

En 1859, Bernard Riemann conjeturó que

La parte real de cada cero no trivial de la función zeta de Riemann es 1/2.

Esto significa que s=1/2+ib donde b es un número real.

Los intentos fallidos

Uno de los más conocidos últimamente fue el intento del respetado Sir Michael Atiyah, quien por cierto sorprendió a todos en 2018 cuando afirmó haber encontrado una demostración de la hipótesis, enfrentándose a una parte de la comunidad matemática, y mostrando su artículo con ¡una prueba de tan solo media página! Toda la situación parecía sacado de una novela, todo el mundo estaba pendiente de la conferencia de Atiyah y de la revisión, al parecer personas ajenas al mundo de las matemáticas escucharían por primera vez que existían estos tipos de problemas; cuando unos meses después, el 11 de enero de 2019, fallecía Atiyah antes de conocer el veredicto.

Como podrán imaginarse, el resultado tenía lagunas que no podía remendarse. Y el problema se abstenía a ser resuelto.

Otro que fue muy divulgado por los medios fue el intento de Enoc Opeyemi, un matemático nigeriano, quien diera su conferencia en la International Conference on Mathematics and Computer Science, y su artículo con un resumen un tanto confuso es este.

En arXiv se pueden encontrar varios artículos publicados con el título de Demostración de la hipótesis de Riemann. Tan sólo entre 2020 y 2021 hay ocho publicaciones con este afirmación.

Matthew R. Watkins se tomó el tiempo de buscar los intentos de demostraciones de la hipótesis de Riemann aquí. Es increíble la cantidad de pruebas que se pueden encontrar.

Es más fácil probar la Hipótesis de Riemann que revisar alguna demostración de ella.

Daniel Dávalos

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