Motivo por el cual el mapamundi no es exacto

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Representación cartográfica del planeta Tierra con divisiones políticas.

Este artículo ha sido creado para cuestionarnos todo lo que hemos creído saber sobre nuestra formación e información básica. Todos recordarán que en la asignatura Geografía (o Historia y Geografía o Medio Natural o como quieras llamarlo) de la educación escolar nos hacían estudiar el mapa terrestre junto con los paralelos y los meridianos; esto se proyecta a toda información educativa no formal como atlas y enciclopedias, como consecuencia monótona y trivial. Todo muy bonito, no obstante hay un problema y radica en que ¡no se puede obtener una imagen precisa de la superficie de la Tierra con un plano!

La cuestión no es muy alarmante, pues la aproximación gráfica es satisfactoria y los sistemas de navegación y aviación funcionan perfectamente. Sin embargo, para los más quisquillosos en el tema esto puede generar dudas de si realmente no podemos obtener una imagen precisa de la Tierra en un papel.

Les mostraré el motivo de esta aseveración de forma tan exacta como las matemáticas puedan ofrecer y tan elegante como se me pueda ocurrir. Antes que nada no es difícil observar que un cilindro se puede obtener a partir de un rectángulo, simplemente tomando los extremos del rectángulo, luego unirlos.

Resultado de imagen para rectangle cylinder
Imagen tomada de aquí

Se supone que el planeta en el que habitamos tiene una forma esférica (o elíptica para otros), por lo que consideraremos una esfera perfecta para una prueba formal (los terraplanistas estarían orgullosos de sus mapas del plano terráqueo).

Proyección Mercator.

Para ello utilizamos una definición matemática para trasladar la gráfica de «algo» de tres dimensiones (llamaremos al espacio de dimensión n como el espacio R^n) en símbolos matemáticos precisos, a saber: la parametrización. No todas las gráficas, que denominaremos superficies (pues vivimos en tres dimensiones), pueden parametrizarse, aunque una esfera sí puede hacerlo. Si consideramos las tres posibles direcciones del espacio: x (derecha-izquierda), y (delante-detrás) y z (arriba-abajo), podemos considerar tres variables para ubicarnos en el espacio, considerando en este caso (por conveniencia) que el centro de nuestra esfera de radio r es el origen por donde parte nuestra el espacio coordenado, entonces la superficie de la esfera es:

que bien puede parametrizarse como

Ahora definiremos lo que es una curvatura en geometría diferencial. Podemos definirla como el número que mide la inclinación intrínseca de una superficie respecto a un plano tangente que pueda trazarse en cada uno de los puntos de la superficie. Lo notable en esto es que la esfera tiene la particularidad en que cada «trozo» esférico es idéntico por todas partes, por lo que en cada punto (x,y,z) de una esfera, la curvatura sería igual. El tipo de curvatura que usaremos es la curvatura de Gauss, que está dada por esta belleza

en términos del tensor curvatura de Riemann para 2-variedad. No desmayen, no aún, y si quieren creer todo esto pueden leer la bibliografía consultada, que no les miento. Aquí la forma de la superficie puede determinarse por una matriz g de dimensión 2, mientras que las componentes g1 y g2 son componentes de la superficie, el símbolo g12 determina la derivada a la segunda componente para la primera componente:

Podemos obtener, sin más preámbulos, la siguiente información sobre la curvatura de una esfera para cada punto sobre ella, considerando r el radio de esfera y la parametrización precedente:

En 1827 Gauss había probado el siguiente teorema (teorema egregium):

La curvatura gaussiana de una superfice es invariante bajo isometrías locales.

Lo que afirma este teorema es que la curvatura de dos superficies son iguales si al transformarla bajo ciertas formas geométricas no cambia su estructura o esencia, como vimos con el cilindro.

Estamos a punto de terminar el análisis. Sólo falta determinar la curvatura de un rectángulo en el plano. Es sencillo observar, según lo que habíamos definido por curvatura, que cualquier plano tangente al rectángulo no genera ningún tipo de inclinación sobre éste, por lo que su curvatura es k=0.

Finalmente determinamos que las curvaturas de la esfera y del plano nunca son iguales, y en virtud del teorema egregium de Gauss, éstas superficies no pueden coincidir.

Una controversia de esto es sobre el tipo de proyección cartográfica conocida como Mercator, en honor a Gerardus Mercator (1569), porque la escala de los países más cercanos a los polos está bastante distorsionado. Aunque hoy día se utiliza generalmente la proyección de Winkel-Tripel, que es bastante más acertada.

Ver las imágenes de origen
Comparación entre la proyección Mercator y el tamaño real de los países.

La proyección de Winkel-Tripel con la Indicatriz de Tissot de deformación. (Imagen tomada de aquí)

REFERENCIAS

HERNÁNDEZ, Luis. Una introducción a la geometría diferencial. Universidad La Rioja. (Disponible aquí)

Desarrollo peruano (blog). El verdadero desarrollo de los países.

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